Histria de la matemática

ANALICE EL VIDEO Y COMENTE SUS INQUIETUDES Y/O CONCLUSIONES, REFERENTE  A LOS TEMAS VISTOS E CLASE

 satisfaga su curiosidad o ampliela

1º DE BACHILLERATO "B"

 

******************************************************************

  Tomar en cuenta que la la ecuacion General  Ax+By+C=0 es equivalente a ax+by+c=0 donde A, B, C pede ser cualquier numero y la misma ecuacion puede ser expresada como ecuacion explicita mencionada anteriormente  donde: y = (Ax+C)/B que se obtiene despues de despejar Y.

Con lo mencionado y lo expuesto mas abajo resolver los ejercicios de  la pagina n| 21 del Libro de Matematicas provista por el estado.

******************************************************************

EJERCICIOS

1 Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).

2 De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(−2, 0). Halla las coordenadas del vértice D.

 

Ecuación de la recta

 

Para entrar en esta materia y para entender lo que significa la Ecuación de la Recta es imprescindible estudiar, o al menos revisar, lo referido a Geometría analítica y Plano cartesiano.
La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano).
La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).
La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea  (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta.
El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta.
Para comprender este proceder es como si la misma línea solo se cambia de ropa para que sepan de su existencia pero expresada en términos matemátiicos (como una ecuación).
Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado.
Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la  línea recta que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la recta.
1.– Ecuación general de la recta
Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.
De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).

Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la Ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano.

Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación

Ax + By + C = 0

Que también puede escribirse como

ax + by + c = 0

y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente:

Teorema La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los números reales ();  y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.

2.– Ecuación principal de la recta
Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta.
Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente:
Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa (horizontal) e y el valor de la ordenada (vertical).

(x, y) = (Abscisa , Ordenada)

Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5.
Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.
Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la ecuación y = x – 5, ya que al reemplazar queda
2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.
Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula

y = mx + n

que considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el punto de intercepción en la ordenada (n), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego).
Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de intercepción (también llamado intercepto) en el eje de las ordenadas (y).
Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda,  m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa),  y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta  interceptará al eje de las ordenadas (y).
Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma

y − y₁ = m(x − x₁)

y – b  = m(x – 0)

y – b = mx

y = mx + b

Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.
Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7).
Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o explícita, como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto.
Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. Nótese que la ecuación y = mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto,  la b corresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y).
Ejemplo 1:
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.
Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.
Usamos la información que tenemos:
m = 3  y  b = 10 y sustituimos en la ecuación
y = 3x + 10.
La ecuación que se pide es y = 3x + 10.
Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general:
y – 3x – 10 = 0, la cual amplificamos por –1, quedando como
– y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar
3x – y  +  10 = 0  
Ejemplo 2
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5.
Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.
Usamos a información:  m = – 5 y sustituimos en la ecuación:
y = – 5x + b
Ahora tenemos que buscar la b; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que buscamos. Se sustituyen esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estamos buscando: 2 = – 5 (1) + b
Despejamos la variable b en:
2 = – 5 (1) + b
2 = – 5 + b
2 + 5 = b
b = 7
Sustituimos el valor de b en la ecuación que buscamos: y = – 5x + 7
La ecuación en su forma principal (simplificada o explícita) es y = – 5x + 7.
La cual también podemos expresar en su forma general:
y = – 5x + 7
y + 5x – 7 = 0
la cual ordenamos y queda
5x + y – 7 = 0

Pendiente de una Recta
Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados:
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene pendiente m = – 3.
Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas.
Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente 5.
Además:
Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen.
Determinar la pendiente
Aprendido lo anterior es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1, 3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y nos quedaría:
3 = 2 · 1 + n,
y despejando n, queda n = 1.
Por lo tanto, la ecuación de esa recta será:
y = 2x + 1.

Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1, 3) y (2, 5), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas:
3 = m · 1 + n,
5 = m · 2 + n.
Ahora, observemos el gráfico de la derecha: Cuando se tienen dos puntos de una recta P₁ (x₁, y₁) y P₂ (x₂, y₂), la pendiente, que es siempre constante, queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea, con la fórmula

Entonces, a partir de esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta, con la fórmula:

y – y₁ = m(x – x₁)

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos.
Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el punto P₁ = (x₁,  y₁)  y tiene la pendiente dada m,  se establece de la siguiente manera:

y – y₁ = m(x – x₁)

Ver: PSU: Matemáticas,
Pregunta 36_2010
Pregunta 15_2006

Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de  – 1/3
Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:
y – y₁ = m(x – x₁)
y – (–4) = – 1/3(x – 2)
3(y + 4) = –1(x – 2)
3y + 12 = –x + 2
3y +12 + x – 2 = 0
3y + x + 10 = 0
x + 3y + 10 = 0
Volviendo a la ecuación general de la recta (Ax + By + C = 0), en ella la pendiente (m) y el coeficiente de posición (n) quedan determinados por:

Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x – 6y + 3 = 0?

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Sean P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂) dos puntos de una recta. Sobre la base de estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.
Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), también perteneciente a la recta.
Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea

   y  

Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

que también se puede expresar como

Ejemplo 1:
Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)

y – 2 = x – 1

y – x + 1 = 0

Ejemplo 2:
Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P₁(4, 3) y P₂(–3,  –2)
Sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

Reemplazamos los valores:

–2 – 3   =  y – 3
–3 – 4        x – 4

–5  =   y – 3
–7        x – 4

y – 3  = x – 4 (–5 /–7)

y – 3 =  –5 x  + 20
                    –7

–7 (y – 3) = –5 x + 20

–7y +21 + 5x – 20 = 0

5x – 7y + 1 = 0

Que se corresponde con una ecuación de la forma general

Ax + By + C = 0

Donde
A = 5
B = 7
C = 1
Ver:
http://www.youtube.com/watch?v=_qzSrMBiUyE&NR=1

Ecuación de la recta dados punto–pendiente (se conoce un punto y se conoce la pendiente)
Por lo ya visto, y por los ejemplos anteriores, sabemos que la ecuación de la recta que pasa por  dos puntos está determinada por

pero

Luego, si reemplazamos en la ecuación anterior obtenemos

despejando, llegamos a:

y – y₁ = m(x – x₁)

Ejemplo:
Determina la ecuación general de la recta de pendiente –4 y que pasa por el punto (5, –3)

y – y₁ = m(x – x₁)

y – (–3) = –4(x – 5)

y + 4 = –4x + 20

Luego la ecuación pedida es  4x + y – 16 = 0.

 

1º DE BACHILLERATO "A"

Tomar en Cuenta que los Coeficientes de x, y & z son los numeros que tomaremos para resolver cada determinante, puesto de la siguiente manera ax +by+cz=d entonces los primeros datos de la determinante serian para resolver x (b  c  d) cada uno con el signo correspondiente y haremos lo mismo con las dos ecuaciones restantes dentro de un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas. el resultado de esta determinante la dividiremos par el resultado de la determinante formada por los coeficientes de xyz (a  b  c)

para resolver y (a  c  z) cada uno con el signo correspondiente y haremos lo mismo con las dos ecuaciones restantes. y el mismo procedimiento anterior.

La ultima determinante, para calcular z seria (a   b   d) dividida por la determinante de xyz.,

para mayor entendimiento revisar la informacion contenida en la parte inferior.

Nota: presenter todos los ejercicios reueltos este sabado

 

Calcula los siguientes determinantes:

1

2

3

4.- Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

5.- Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que:
El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las películas.
El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al representan la mitad del total de las películas.
Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.
Halla el número de películas de cada tipo.

6.- Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en cada vértice se dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de los radios de las circunferencias.

10mo AEGB

Sacar factor común

Consiste en aplicar la propiedad distributiva:

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Ejemplos

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces
1. x³ + x² = x² (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = −1

2. 2x⁴ + 4x² = 2x² (x² + 2)

Sólo tiene una raíz x = 0; ya que el polinomio, x² + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

3. x² − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

La raíces son x = a y x = b.

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a² − b² = (a + b) · (a − b)

Ejemplos Descomponer en factores y hallar las raíces

1. x² − 4 = (x + 2) · (x − 2)

Las raíces son x = −2 y x = 2

2. x⁴ − 16 = (x² + 4) · (x² − 4) =
= (x + 2) · (x − 2) · (x² + 4)

Las raíces son x = −2 y x = 2

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a² ± 2 a b + b² = (a ± b)²

Ejemplos

Descomponer en factores y hallar las raíces
1.

La raíz es x = −3, y se dice que es una raíz doble.

2.

La raíz es x = 2.

*******************************************************************************
Resolver los ejercicios en este enlace
*******************************************************************************
EJERCICIOS

1 Desarrolla los siguientes binomios:

1(x + 5)² =
2(2x − 5)² =
3(3x − 2)² =
4

2Desarrolla los siguientes binomios al cubo:

1(2x − 3)³ =
2(x + 2)³ =
3(3x − 2)³ =
4(2x + 5)³ =

3Desarrolla:

1(3x − 2) · (3x + 2) =
2(x + 5) · (x − 5) =
3(3x − 2) · (3x + 2) =
4(3x² + 5) · (3x² − 5) =

4Desarrolla las expresiones:

1(x² − x + 1)² =
28x³ + 27 =
38x³ − 27 =
4(x + 2) (x + 3)

8vo AEGB

Aqui un refuerzo para eliminar signos de agrupacion, operando con numeros fraccionarios

Signos de agrupación

( ) paréntesis
[ ] Corchetes
{ } llaves

Estos signos se emplean para indicar que cantidades contenidas en ellas se consideran como una sola cantidad. También indican que las oporaciones que estan dentro de ellas deben efectuarse primero.

Jerarquia de las operaciones

Las operaciones se tienen que resolver en el siguiente orden. Operaciónes dentro de signos de agrupación en el siguiente orden: Paréntesis(), corchetes[] y llaves {}.

Evaluar todos los exponenetes.

Primero resuelve las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

y despues resuelve las suma y las restas de izquierda a derecha


ELIMINACIÓN O SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Son dos las reglas generales para suprimir signos de agrupación.

Si un signo de agrupación está precedido por un signo positivo, se elimina el signo de agrupación y se escriben los elementos que se encontraban dentro de él sin cambiarles su signo. Ejemplo:

Si un signo de agrupación está precedido por un signo negativo, se elimina el signo de agrupación y se escriben los elementos que se encontraban dentro de él cambiándoles el signo a cada uno. Ejemplo:

Halla las operaciones:

a) 3 - [- (-3 + 2 - 1) + 2 + (-3 + 4)] - [- 3 - (-2 + 5)] - [-3 - (+2 - 4) - 3 + (2 + 3)] + 3 =

b) -3 + [-2 + (-3 + 4) - 3 - (+2 - 1)] - [-3 + 4 + (-2 + 1) -3 - (+2 - 5)] - (-3 + 2) =

c) -4 -[-3 + 2 + (-2 + 5) - 3 - (-4 + 2)] - [-3 - (+2 - 1) - (-4 + 5)] - (-3 + 4) =

d) -5 + (-3 + 2) - [- (-4 + 6) - 3 - (-2 + 4) - 3] - (-4 + 2) + [ - (-3 + 5) - 2 + (-1 + 3)] =

e) 3 - [-3 - (+2 + 1) - 3 + (-2 + 4)] - (-2 + 5) - [- (-4 + 3) - (-2 + 5)] - (-3 + 2) =

f) 4 - [ -3 + (2 + 4) - (-3) + 2] - [-2 - (-3 + 4) + 3 + (-2 + 4)] + (-4 + 6) =

9º AEGB

 

1. Suma de monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes.
La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
axⁿ + bxⁿ= (a + b)xⁿ

Ejemplo

2x²y³z + 3x²y³z = (2 + 3)x²y³z = 5x²y³z
Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio.

Ejemplo:

2x²y³ + 3x²y³z

2. Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número.

Ejemplo:

5 · (2x²y³z) = 10x²y³z

3. Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes.

     

axⁿ · bx^m = (a · b)x^{n + m}

Ejemplo:

(5x²y³z) · (2y²z²) = (2 · 5) x²y³⁺²z¹⁺² = 10x²y⁵z³

4. División de monomios

Sólo se pueden dividir monomios cuando:
1Tienen la misma parte literal
2El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor
La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base, es decir, restando los exponentes.

     

axⁿ : bx^m = (a : b)x^{n − m}

Ejemplo:

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

Ejemplo:

5. Potencia de un monomio

Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que indique la potencia.

     

(axⁿ)^m = a^m · x^{n · m}

Ejemplos:

(2x³)³ = 2³ · (x³)³= 8x⁹

(−3x²)³ = (−3)³ · (x²)³= −27x⁶

^EJERCICIOS

1Realiza las sumas y restas de monomios.

12x²y³z + 3x²y³z =
22x³ − 5x³ =
33x⁴ − 2x⁴ + 7x⁴ =
42a²bc³ − 5a²bc³ + 3a²bc³ − 2 a²bc³ =

2Efectúa los productos de monomios.

1(2x³) · (5x³) =
2(12x³) · (4x) =
35 · (2x²y³z) =
4(5x²y³z) · (2y²z²) =
5(18x³y²z⁵) · (6x³yz²) =
6(−2x³) · (−5x) · (−3x²) =

3Realiza las divisiones de monomios.

1(12x³) : (4x) =
2(18x⁶y²z⁵) : (6x³yz²) =
3(36x³y⁷z⁴) : (12x²y²) =
4
5
6

4Calcula las potencias de los monomios

1(2x³)³ =
2(−3x²)³ =
3